Показові рівняння - рівняння, які містять невідоме в показнику ступеня.
Рівняння виду: \ (a ^ x = b, де \ a> 0, a ≠ 1 \)
називається найпростішим показовим рівнянням.
Методи вирішення показових рівнянь
- В результаті перетворень рівняння можна привести до виду: \ (a ^ = a ^ c \). Тоді застосовуємо властивість: \ (a ^ = a ^ c \ Rightarrow f (x) = c \).
- При отриманні рівняння виду \ (a ^ = b \) використовується визначення логарифма, отримаємо: \ (f (x) = \ log_a b \).
- В результаті перетворень можна отримати рівняння виду: \ (a ^ = b ^ \). Застосовується логарифмирование: \ (\ log_ca ^ = \ log_cb ^ \). Далі застосовуємо властивість логарифма ступеня: \ (f (x) \ cdot \ log_ca = g (x) \ cdot \ log_cb \). Висловлюємо і знаходимо \ (x \).
Приклад 1. Вирішити рівняння: \ (3 ^ + 3 ^ x - 3 ^
Рішення: Метод рішення рівнянь такого виду - винести за дужки ступінь з найменшим показником. В даному випадку виносимо за дужки \ (3 ^ \). \ (3 ^ (3 ^ 3 + 3 ^ 2 - 1) = 35 \ Rightarrow 3 ^ · 35 = 35 \ Rightarrow 3 ^ = 1 \).
Остання рівність запишемо як \ (3 ^ = 3 ^ 0 \) і з огляду на монотонності показовою функції робимо висновок, що \ (x-2 = 0 \ Rightarrow x = 2 \).
Приклад 2. Вирішити рівняння: \ (4 ^ - 2 ^ - 8 = 0 \).
Рішення: Перепишемо рівняння таким чином: \ (2 ^ - 2 \ cdot 2 ^ - 8 = 0 \). Вводячи заміну \ (t = 2 ^ x \). отримаємо квадратне рівняння щодо \ (t \). \ (T ^ 2-2t-8 = 0 \). Знаходимо його корені: \ (t_1 = 4, t_2 = -2 \). Залишається зробити зворотний заміну. Рівняння \ (2 ^ x = 4 \) має єдиний корінь \ (x = 2 \). Рівняння \ (2 ^ x = -2 \) коренів не має, так як показова функція \ (y = 2 ^ x \) не може приймати від'ємних значень.
Системи рівнянь, що складаються з показових рівнянь, називаються системою показових рівнянь.
Приклад 3. Вирішити систему рівнянь \ (\ begin 2 ^ -3 ^ y = -1 \\ 3 ^ y-2 ^ x = 2 \\\ end \).
Рішення: Дана система рівносильна системі \ (\ begin 2 \ cdot 2 ^ -3 ^ y = -1 \\ 3 ^ y-2 ^ x = 2 \\\ end \). Нехай \ (2 ^ x = u \ (u> 0), 3 ^ y = v \ (v> 0) \). тоді отримаємо: \ (\ begin 2u-v = -1 \\ v-u = 2 \\ \ end \). Вирішимо отриману систему шляхом складання. Складемо рівняння: \ (2u-v + v-u = -1 + 2 \ Rightarrow u = 1 \). Тоді з другого рівняння отримаємо, що \ (v = 2 + u = 2 + 1 = 3 \). Переходимо до зворотного підстановці: \ (\ begin 2 ^ x = 1 \\ 3 ^ y = 3 \\ \ end \ Rightarrow \ begin x = 0 \\ y = 1 \\ \ end \).