Топологічний перетворення. або гомеоморфизм. однієї геометричної фігури S на іншу, S ', - це відображення (p (r) p') точок p з S в точки p 'з S', яке задовольняє наступним умовам:
1) встановлюється їм відповідність між точками з S і S 'взаємно однозначно, тобто кожній точці p з S відповідає тільки одна точка p 'з S' і в кожну точку p 'відображається тільки одна точка p;
2) відображення взаємно безперервно (безперервно в обидві сторони), тобто якщо задані дві точки p, q з S і точка p рухається так, що відстань між нею і точкою q прагне до нуля, то відстань між відповідними точками p ', q' з S 'також прагне до нуля, і навпаки.
Геометричні фігури, що переходять одна в іншу при топологічних перетвореннях, називаються гомеоморфними. Коло і межа квадрата гомеоморфні, так як їх можна перевести один в одного топологічним перетворенням (тобто згинанням і розтягуванням без розривів і склеювання, наприклад, розтягуванням кордону квадрата на описану навколо нього коло). Сфера і поверхню куба також гомеоморфні.
Щоб довести гомеоморфними фігур, досить вказати відповідне перетворення, але той факт, що для якихось фігур знайти перетворення нам не вдається, не доводить, що ці фігури не гомеоморфні. Тут допомагають топологічні властивості.
Топологічним властивістю (або топологічним інваріантом) геометричних фігур називається властивість, яким разом з даної фігурою володіє також будь-яка фігура, до якої вона переходить при топологічному перетворенні. Будь-яке відкрите зв'язне безліч, що містить принаймні одну точку, називається областю. Область, в якій будь-яку замкнену просту (тобто гомеоморфними окружності) криву можна стягнути в точку, залишаючись весь час в цій області, називається однозв'язної, а відповідне властивість області - однозв'язного. Якщо ж деяку замкнуту просту криву цій галузі не можна стягнути в точку, залишаючись весь час в цій області, то область називається многосвязной, а відповідне властивість області - багатозв'язна. Уявіть собі дві кругові області, або диски, одну без дірок, а іншу з дірками. Перша область однозв'язна, друга багатозв'язна. Однозв'язного і багатозв'язних - топологічні властивості. Область з дірою не може перейти при гомеоморфізмом в область без дірок. Цікаво відзначити, що якщо в багатозв'язних диску провести по розрізу від кожної з дірок до краю диска, то він стане однозв'язного. Максимальне число замкнутих простих непересічних кривих, за якими можна розрізати замкнуту поверхню, не розділяючи її на окремі частини, називається родом поверхні. Рід - топологічний інваріант поверхні. Можна довести, що рід сфери дорівнює нулю, рід тора (поверхні "бублика") - одиниці, рід кренделя (тора з двома дірками) - двом, рід поверхні з p дірами дорівнює p. Звідси випливає, що ні поверхню куба, ні сфера не гомеоморфні тору. Серед топологічних інваріантів поверхні можна також відзначити число сторін і число країв. Диск має 2 сторони, 1 край і рід 0. Тор має 2 сторони, не має країв, а його рід дорівнює 1. Введені вище поняття дозволяють уточнити визначення топології: топологією називається розділ математики, що вивчає властивості, які зберігаються при гомеоморфізмом.
Фоменко Правити
с.15: Гомеоморфізм \? синонім - конформне відображення \ - взаємно однозначне безперервне в обидві сторони відображення (відповідність). Наочно Г. можна уявити як деформацію об'єктів, "зроблених з гуми". Важлива властивість Г. міняти метричні властивості об'єкта, але зберігати його топологічні властивості.
с.144- Людська фігура ", наприклад, під дією гомеоморфізму може змінитися до невпізнання, проте збереже свої основні топологічні характеристики.
Див. Також Правити
\ Г. - властивість "гірлянди проблем" (див. ДревоЖеланій \
Гомеоморфізм: топологічний і семантичний (приклад «Инновац. Лінз»)
Виявлено використання розширення AdBlock.