Припустимо, що дуже жорстке тіло А вагою Q. деформацією якого можна знехтувати, падаючи з деякої висоти H. вдаряє по іншому тілу B. спирається на пружну систему С (рис.2). В окремому випадку це може бути падіння вантажу на кінець призматичного стержня, інший кінець якого закріплений (поздовжній удар), падіння вантажу на балку, що лежить на опорах (вигинає удар), і т. П.
Рис.2. Динамічна модель ударного навантаження.
Протягом дуже короткого проміжку часу пружна система С випробує деяку деформацію. Позначимо через переміщення тіла В (місцевої деформацією якого пренебрежем) в напрямку удару. У згаданих окремих випадках при поздовжньому ударі за переміщення відповідно потрібно вважати поздовжню деформацію стрижня, при згинатися ударі - прогин балки в вдаряє перетині і т. П. В результаті удару в системі С виникнуть напруги (або - в залежності від виду деформації).
Вважаючи, що кінетична енергія Т вдаряє тіла повністю переходить в потенційну енергію деформації пружної системи, можемо написати:
Так як до моменту закінчення деформації вдаряє тіло пройде шлях, то його запас енергії буде вимірюватися виробленої їм роботою і буде дорівнює:
Обчислимо тепер. При статичної деформації потенційна енергія чисельно дорівнює половині твори діючої сили на відповідну деформацію:
Статична деформація в вдаряє перерізі може бути обчислена за законом Гука, який в загальному вигляді можна записати так:
Тут с - деякий коефіцієнт пропорційності (званий іноді жорсткістю системи); він залежить від властивостей матеріалу, форми і розмірів тіла, виду деформації і положення наголошеного перетину. Так, при простому розтягуванні або стисненні, і; при вигині балки, шарнірно закріпленої по кінцях, зосередженої силою Q посередині прольоту і; і т.д.
Таким чином, вираз для енергії може бути переписано так:
В основу цієї формули покладені дві передумови: а) справедливість закону Гука і б) поступовий - від нуля до остаточного значення - зростання сили Q. напруг і пропорційних їм деформацій.
Досліди з визначенням модуля пружності за спостереженнями над пружними коливаннями стрижнів показують, що і при динамічному дії навантажень закон Гука залишається в силі, і модуль пружності зберігає свою величину. Що стосується характеру наростання напруги і деформацій, то і при ударі деформація відбувається, хоча і швидко, але не миттєво; поступово зростає протягом дуже короткого проміжку часу від нуля до остаточного значення; паралельно зростанню деформацій зростають і напруги.
Реакція системи С на дію впав вантажу Q (назвемо її) є наслідком розвитку деформації; вона зростає паралельно від нуля до остаточної, максимальної величини і, якщо напруги не перевищують межі пропорційності матеріалу, пов'язана з нею законом Гука:
де с - згаданий вище коефіцієнт пропорційності, який зберігає своє значення і при ударі.
Таким чином, обидві передумови для правильності формули (3) приймаються і при ударі. Тому можна вважати, що вид формули для при ударі буде той же, що і при статичному навантаженні системи С силою інерції, т. Е.
(Тут враховано, що за попереднім.) Підставляючи значення Т і в рівняння (1), отримуємо:
або, утримуючи перед радикалом для визначення максимальної величини деформації системи в напрямку удару знак плюс, отримуємо:
Необхідно відзначити, що в той час як зневага одиницею 2Н в подкоренного вираженні допустимо вже при (неточність наближених формул буде не більше 5%). зневага одиницею, що стоїть перед коренем, допустимо лише при дуже великій величині відносини.
Так, наприклад, для того щоб наближені формули (11) і (12) давали похибка не більше 10%, відношення має бути більше 110.
Формули і, в яких виражається через, можуть бути використані також для вирішення завдання про зустрічному ударі тіл, що рухаються з певною швидкістю, при визначенні напружень в циліндрі двигуна внутрішнього згоряння, викликаних різким підвищенням тиску газу при спалаху горючої суміші та ін. На цій підставі їх можна вважати загальними формулами для розрахунку на удар.
Узагальнюючи сказане вище, можемо намітити наступний загальний прийом рішення задач на визначення напружень при ударі. Застосовуючи закон збереження енергії, треба:
1) обчислити кінетичну енергію вдаряє тіла Т;
2) обчислити потенційну енергію тіл, що сприймають удар, під навантаженням їх силами інерції при ударі; потенційна енергія повинна бути виражена через напругу (,) в будь-якому перетині, через деформацію (подовження, прогин) або через силу інерції вдаряє тіла;
3) прирівняти величини і Т і з отриманого рівняння знайти або безпосередньо динамічна напруга, або деформацію, а по ній, користуючись законом Гука, напруга або силу і відповідні їй динамічні напруження і деформації.
Описаний загальний прийом розрахунку на удар передбачає, що вся кінетична енергія вдаряє тіла цілком переходить в потенційну енергію деформації пружної системи. Це припущення неточно. Кінетична енергія падаючого вантажу частково перетворюється в теплову енергію і енергію непружної деформації підстави, на яке спирається система.
Разом з тим при високих швидкостях удару деформація за час удару не встигає поширитися на весь обсяг наголошеного тіла і в місці удару виникають значні місцеві напруги, іноді перевершують межа плинності матеріалу. Так, наприклад, при ударі свинцевим молотком по сталевій балці велика частина кінетичної енергії перетворюється в енергію місцевих деформацій. Подібне ж явище може мати місце навіть і в тому випадку, коли швидкість удару мала, але жорсткість або маса наголошеної конструкції велика.
Зазначені випадок відповідають великим величинам дробу. Тому можна сказати, що описаний вище метод розрахунку застосуємо, поки дріб не перевищує певної величини. Більш точні дослідження показують, що помилка не перевищує 10% якщо. Так як ця дріб може бути представлена у вигляді відносини, то можна сказати, що викладений метод можна застосовувати, поки енергія удару перевищує не більше ніж в 100 разів потенційну енергію деформації, відповідну статичному навантаженні конструкції вагою вдаряє вантажу. Облік маси наголошеного тіла при ударі дозволяє дещо розширити межі застосовності цього методу в тих випадках, коли маса наголошеного тіла велика.
Більш точна теорія удару викладається в курсах теорії пружності.
Лекція № 50. Оцінка міцності при ударному навантаженні.
Вид формул, отриманих для динамічного коефіцієнта, показує, які великі якісні відмінності веде за собою кількісне зміна періоду дії сили на тіло.
Розглянемо деякі випадки удару при найпростіших деформаціях. При цьому для знаходження коефіцієнта динамічності застосуємо основні отримані формули для динамічного коефіцієнта.
Для визначення, і використовуємо залежності:
У разі поздовжнього розтягування чи стискає удару (Рис 1)
Рис.1. Модель поздовжнього удару.
Для обчислення динамічного коефіцієнта може бути обрано одне з наступних виразів:
Після цього без труднощів обчислюються, і.
Наближена формула для обчислення напружень в даному окремому випадку отримує такий вигляд:
Помічаємо, що як при статичній, так і при динамічному навантаженні напруга в стислому стрижні залежить від величини стискаючої сили і від площі поперечного перерізу стрижня.
Але при статичній дії вантажу Q передається на стержень сила дорівнює Q і не залежить від розмірів і матеріалу стрижня, при ударі ж величина сили, що викликає напруження в стрижні, залежить від прискорення, що передається від наголошеного тіла на вдаряє, т. Е. Від величини проміжку часу, протягом якого змінюється швидкість вдаряє тіла. У свою чергу цей проміжок часу залежить від величини динамічного поздовжньої деформації, від податливості стрижня. Чим ця величина більше, т. Е. Чим менше модуль Е і чим більше довжина стержня l. тим більше тривалість удару, менше прискорення і менше тиск.
Таким чином, при рівномірному розподілі напруг, однаковому у всіх перетинах стрижня, динамічна напруга буде зменшуватись зі збільшенням площі поперечного перерізу стрижня і зі збільшенням його податливості (т. Е. Зі збільшенням довжини і зменшенням модуля пружності Е); саме тому пом'якшують удар всякі ресори і пружини, розташовані між вдаряє деталями. Все це і відображають наведені вище формули. Зокрема, з відомим наближенням можна вважати, що при поздовжньому ударі величина напружень залежить вже не від площі, а від обсягу стержня.
Обчисливши величину динамічного напруги, ми можемо тепер написати умова міцності у вигляді
де [] -Допускається величина нормальних напружень при ударі, рівна для пластичного матеріалу. Величину коефіцієнта запасу можна було б вибрати дорівнює величині основного коефіцієнта запасу при статичній дії навантажень, так як динамічність навантаження вже відображена. Однак, зважаючи на деяку спрощеність викладеного методу розрахунку, цей коефіцієнт приймають кілька підвищеним - до 2. Крім того, зазвичай в цих випадках застосовують матеріал більш високої якості (щодо однорідності і пластичних властивостей).
При вигині величина статичної деформації, що представляє собою статичний прогин балки з в місці удару, залежить від схеми навантаження і умов обпирання балки.
Так наприклад, для балки прольотом l. шарнірно закріпленої по кінцях і відчуває посередині прольоту удар від падаючого з висоти Н вантажу Q (Рис.2, а),
а) двухопорного балка, б) консольная
Рис.2. Моделі удару:
для консолі, що відчуває удар від вантажу Q. падаючого на вільний кінець консолі (Рис 2, б):
Підставляючи в формулу для коефіцієнта динамічності значення або, знаходимо, а потім і величину динамічних напружень і деформацій. Так наприклад, в разі балки на двох опорах при обчисленні динамічного напруги маємо таку формулу:
Умова міцності в цьому випадку напишется:
Наближені формули для обчислення і в разі удару по балці на двох опорах отримують такий вигляд:
Аналогічні вирази для і виходять і в разі удару по консолі. Маючи на увазі, що
можемо уявити вираз для ще і в такому вигляді:
З останньої наближеною формули видно, що динамічні напруження при згині балки залежать від модуля пружності матеріалу, обсягу балки, форми її поперечного перерізу (відношення), а також від схеми навантаження і умов обпирання балки (в даному випадку в подкоренного вираженні варто; для балок, інакше завантажених і закріплених, числовий коефіцієнт у буде іншим). Таким чином, в балці прямокутного перетину висотою h і шириною b. поставленої на ребро або покладеної плазом, найбільші напруги при ударі будуть однакові і рівні (за наближеною формулою):
так як в обох випадках
Як відомо, при однаковій статичному навантаженні найбільші напруги в балці, покладеної плиском, будуть відносно більше, ніж напруги в балці, поставленої на ребро. Сказане вище, зрозуміло, справедливо лише до тих пір, поки явище удару відбувається в межах пружності.
Опір балок ударних навантажень залежить і від моменту опору і від жорсткості балки. Чим більше піддатливість, деформованість балки, тим більшу живу силу удару вона може прийняти при одних і тих же допускаються напругах. Найбільший прогин балка дає в тому випадку, коли у всіх її перетинах найбільші напруги будуть однаковими, т. Е. Якщо це буде балка різного опору; такі балки при одному і тому ж дозволяється за напрузі дають великі прогини, ніж балки постійного перетину, і значить, можуть поглинати велику енергію удару. Тому ресори зазвичай і роблять у формі балок рівного опору.
Розглянемо тепер задачу визначення напружень при скручує ударі.
Якщо обертається вал раптово зупиняється гальмуванням одного з його кінців, а на іншому його кінці на нього передається жива сила маховика, скручують вал, то напруги також можуть бути визначені зазначеним вище методом. Вал буде скручуватися двома парами сил (сили інерції маховика і сили гальмування) з моментом М.
В даному випадку