Сепарабельне розширення - алгебраїчне розширення поля E ⊃ K. що складається з сепарабельних елементів, тобто таких елементів α. мінімальний аннулятор f (x) над K для яких не має кратних коренів. Похідна f '(x) повинна бути в зв'язку з цим ненульовим многочленом. За визначенням все поля характеристики 0 сепарабельном, тому поняття сепарабельном нетривіально лише для полів ненульовий характеристики p.
Для кінцевих розширень має місце наступне твердження: якщо K ⊂ E ⊂ K *>. де K *> - алгебраїчне замикання поля K. то E сепарабельном тоді і тільки тоді, коли число різних ізоморфізмів σ поля E в алгебраїчне замикання K *> над K дорівнює ступеню [E. K]. У разі несепарабельних розширень це число є дільником [E. K] і називається сепарабельном ступенем [E. K] s> (приватне одно деякій мірі характеристики).
Властивості сепарабельних розширень
Якщо розширення E ⊇ K сепарабельном, то для будь-якого розширення F ⊇ K (якщо F і E містяться в якомусь полі) композит полів [en] E F є сепарабельном розширенням K.
Узагальнення сепарабельном на неалгебраїчні розширення
Розширення E ⊇ K називається лінійно вільним від L ⊇ K. якщо будь-яке кінцеве безліч елементів E лінійно незалежне над K залишається лінійно незалежним і над L. Дане визначення симетрично: якщо E лінійно вільно від L над K. то і навпаки, L лінійно вільно від E над K.
Розширення (не обов'язково алгебраїчне) E над полем K називається сепарабельном, якщо воно для деякого натурального m лінійно вільно від розширення K p - m >> - породженого приєднанням всіх коренів ступеня p m> з елементів K. Для алгебраїчних розширень це визначення еквівалентно звичайному. Від вибору числа m дане визначення не залежить і рівносильно лінійної свободу E від K p - ∞ >> - композиту всіх K p - m >> (критерій Маклейна).