Повернемося до задачі варіаційного числення, тобто серед всіх близьких кривих знайдемо таку функцію, при якій виконується умова (4.2).
Припустимо, що функція, при якій виконується умова (4.2), відома. Позначимо її. Нехай початку і кінці оптимальної і неоптимальною кривих збігаються (див. Рис. 4.2). Для кривих близьких в сенсі першого порядку криві відрізняються тільки крутизною нахилу, тобто першими похідними. Тоді для неоптимальною кривої можна записати, що
де - мале число;
- довільна гладка функція, яка в початковий і кінцевий моменти часу дорівнює нулю;
- називається варіацією функції.
З урахуванням цього функціонал (4.1) можна записати у вигляді:
Необхідна умова оптимальності (екстремальності) функції - рівність нулю першої похідної по змінній. Знайдемо і прирівняємо до нуля.
З врахуванням того, що ; вираз (4.3) `можна представити у вигляді:
Розглянемо другий доданок.
Використовуємо властивість інтегралів
Позначимо, тоді. Знайдемо і в (4.4). Для цього продифференцируем за часом:. Звідки випливає, що. Так як, то.
Тоді другий доданок можна записати в такий спосіб:
Множник за умовою.
Скористаємося леммой Лагранжа. якщо для кожної неперервної функції і інтеграл тотожно дорівнює нулю при всіх, то або, або. За умовою ми прийняли, що. Тоді. З урахуванням цього можна записати, що
Отримане рівняння (4.6) називається рівнянням Ейлера.
Тоді рівняння Ейлера в розгорнутій формі набуде вигляду:
Таким чином, вирішивши рівняння Ейлера (диференціальне рівняння другого порядку) з використанням двох граничних умов, можна знайти оптимальне управління, при якому. Така функція називається екстремалів.