Приклад 1. У паралелепіпеді АВСD дані координати вершин А. В. С.. . . . .Знайти: 1) координати вершин D; 2) площа грані АВСD; 3) обсяг паралелепіпеда; 4) рівняння площини; 5) рівняння ребра (канонічні і загальні); 6) кут між діагоналлю і площиною; 7) рівняння і довжину висоти, проведеної з вершини D на грань; 8) координати точки перетину висоти НD 'c межею;
Рішення. 1. Нехай .Воспользовавшісь рівністю векторів де. . Отримаємо. Координати точки. Відповідь:.
2. Відомо, що. Знаходимо:. . .
4. Використовуючи формулу (рівняння площини по трьом точкам), складаємо рівняння площини ABCD:
5. З огляду на рівняння прямої, що проходить через дві точки:. рівняння прямої можна записати у вигляді (канонічне рівняння), а загальне рівняння ребра має вигляд:
Відповідь: - канонічне рівняння ребра. - загальне рівняння ребра.
6. З рівності знайдемо координати точки. тобто . Тоді. . За формулою
7. З умови перпендикулярності прямої і площини АВСD слід, що в якості направляючого вектора можна взяти нормальний вектор площини АВСD. Тоді рівняння прямої з урахуванням рівнянь (канонічне рівняння прямої) запишеться у вигляді. де координати точки знаходимо: з рівності векторів. . тобто . Довжину висоти обчислюємо як відстань від точки до площини АВСD за формулою:
8. Запишемо параметричне рівняння прямої. перпендикулярної до даної площини АВСD. (Рівняння площини АBCD). - параметричне рівняння прямої. Вирішивши їх спільно з рівнянням даної площини, знайдемо параметр t: тобто ,
Отже, координати точки Н перетину прямої з площиною ABCD. . . .