Визначення 1 .6. Значущими цифрами в запису при-наближенні числа називаються всі цифри в його запису, починаючи з першої ненульовий зліва.
Визначення 1 .7. Перші п значущих цифр у записі наближеного числа називаються вірними у вузькому сенсі. якщо абсолютна похибка цифри не превосхо-дит половини одиниці розряду, відповідного п-йзначащей цифрі, вважаючи зліва направо.
Поряд з цим визначенням іноді використовується інше.
Визначення 1 .8. Перші п значущих цифр у записі наближеного числа називаються вірними в широкому сенсі. якщо абсолютна похибка цифри не превосхо-дит одиниці розряду, відповідного n- йзначащей цифрі.
Щоб округлити число до п значущих цифр, отбраси-ють всі цифри, що стоять праворуч від n -й значущої цифри, або, якщо це потрібно для збереження розрядів, замінюють їх нулями. При цьому:
1) якщо перша відкинута цифра менше 5, то залишати-шиеся десяткові знаки зберігають без зміни;
2) якщо перша відкинута цифра більше 5, то до пос-Ледней залишилася цифри додають одиницю;
3) якщо перша відкинута цифра дорівнює 5 і серед ос-тальних відкинутих цифр є ненульові, то до після-днів залишилася цифри додають одиницю;
4) якщо перша з відкинутих цифр дорівнює 5 і все від-кинуті цифри є нулями, то остання залишати-шаяся цифра залишається незмінною, якщо вона парна, і збільшується на одиницю, якщо немає (правило парної цифри).
Це правило гарантує, що збережені значущі цифри числа є вірними у вузькому сенсі, т. Е. Похибка округлення не перевищує половини розряду, відповідного останньої залишеної значущою цифрі. Правило парної цифри повинно забезпечити когось компенсація знаків помилок.
Наступна теорема виявляє зв'язок відносної по-похибки числа з числом вірних десяткових знаків.
Теорема 1 .1. Якщо позитивне наближене чис-ло має п вірних значущих цифр, то його відносна похибка # 948; не перевищує величини 10 1 - n. поділеній на першу значущу цифру ан:
Формула (11) дозволяє обчислити граничну від-відносна похибка
Наведемо правила обчислення похибки результа-ту різних арифметичних операцій над наближений-ними числами.
Щодо алгебраїчної суми u = х ± у можна стверджувати наступне.
Теорема 1 .2. Гранична абсолютна похибка суми наближених чисел дорівнює сумі граничних абсолютних похибок доданків, т. Е.
З формули (1.13) випливає, що гранична абсолют-ва похибка суми не може бути менше граничних-ної абсолютної похибки найменш точного з сла-Гаєм, т. Е. Якщо до складу суми входять наближені складові з різними абсолютними похибками, то зберігати зайві значущі цифри в більш точних не має сенсу.
Теорема 1 .3. Якщо всі складові в сумі мають один і той же знак, то гранична відносна похибка суми не перевищує найбільшої з граничних відноси-них похибок доданків:
При обчисленні різниці двох наближених чисел і = х - у її абсолютна похибка, згідно теоре-ме 2, дорівнює сумі абсолютних похибок уменьша-ного і від'ємника, т. Е. # 916; u = # 916; x + # 916; y, а гранична відносна похибка
З формули (1.15) випливає, що якщо наближені значення х і у близькі, то гранична відносна по-грешность буде дуже великий.
У деяких випадках вдається уникнути обчислення різниці близьких чисел за допомогою перетворення Вира-вання так, щоб різниця була виключена.
Якщо буде складно замінити віднімання близьких наближених чисел складанням, то слід чинити так: якщо відомо, що при відніманні долж-но прірву m перших значущих цифр, а в результаті потрібно зберегти п вірних цифр, тоді в зменшується на-мом і віднімається слід зберігати m + п вірних зна-чащіх цифр.
Теорема 1 .4. Гранична відносна похибка добутку і = х × у наближених чисел, відмінних від куля, дорівнює сумі граничних відносних похибок-стей сомножителей, т. Е.
Теорема 1 .5. Гранична відносна похибка приватного дорівнює сумі граничних відносних по-грешность діленого і дільника.