Поняття хвилі. характеристики хвиль
У попередньому розділі розглядалися коливання окремих частинок, що відбуваються під дією повертають квазіупругіх сил. Якщо є сукупність пов'язаних між собою частинок (на зразок розглянутих в п.5.8 пов'язаних маятників) і одна з них починає коливатися, то слідом за нею будуть коливатися і інші частинки. З такою ситуацією доводиться зустрічатися у всіх суцільних середовищах: газах, рідинах і твердих тілах. Взагалі, якщо коливання, що виникли близько однієї точки простору, збуджують коливання близько сусідній точки, то ці коливання будуть поширюватися по всьому простору. Процес поширення коливань у просторі називається хвилею. Є багато хвиль різних типів і природи. Якщо передача коливань обумовлена тим, що частинки середовища пов'язані між собою силами пружності, що виникають внаслідок деформації середовища при її коливаннях, то виникають хвилі називаються пружними хвилями. При деформаціях середовища відбуваються зміщення частинок речовини з положень рівноваги; зміщення одних частинок викликають зміщення сусідніх з ними частинок - зміщення переміщаються по середовищі. Так виникає біжить пружна хвиля. Пружними хвилями є, наприклад, звукові хвилі і хвилі в натягнутих струнах. Іншим прикладом хвиль є хвилі на поверхні рідини. Величезне значення мають електромагнітні хвилі. Ці хвилі розглядаються в розділі «Електродинаміка». Істотно, що при всій різноманітності процесів, що призводять до виникнення і розповсюдження хвиль, у всіх видах хвильового руху є багато спільного. Розглянемо загальні характеристики хвиль.
Якщо коливання частинок у хвилі відбуваються в напрямку її поширення, то хвиля називається поздовжньою, якщо перпендикулярно - поперечної. Слід зазначити, що при хвильовому русі коливаються частки не переміщаються разом з хвилею; вони лише коливаються біля своїх положень рівноваги і передають рух іншим частинкам. Вид хвилі залежить від пружних властивостей середовища. У рідинах і газах сили пружності з'являються при деформаціях стиску і розтягування. Ці деформації і поширюються в вигляді поздовжньої хвилі. Поперечні хвилі можуть виникати тільки в твердих тілах, де при зсуві одного шару відносно другого виникають пружні сили, які прагнуть повернути зрушений шар в початкове положення (деформація зсуву). У твердому тілі можуть існувати і поздовжні хвилі.
Поширюючись від джерела коливань, хвильовий процес охоплює все нові і нові області простору. Область простору, вже залучена в хвильової процес, називається хвильовим полем. Поверхня, яка відділяє область простору, охоплену хвильовим процесом від області простору, в якій коливання ще не виникли, називається фронтом хвилі (або хвильовим фронтом). Геометричне місце точок, хто вагається в однаковій фазі, називається фазовою, або хвильової поверхнею, а лінії, перпендикулярні хвильовим поверхнях - хвильовими променями. При поширенні хвилі фронт хвилі постійно переміщається, хвильові же поверхні залишаються нерухомими (вони проходять через положення рівноваги частинок, що коливаються в однакових фазах). Форма фронту хвилі така ж, як і форма хвильової поверхні. Хвильова поверхня може мати різну форму. У найпростіших випадках вони мають форму площині і сфери. Відповідно до цього хвилі називають плоскими і сферичними. У плоскій хвилі хвильові поверхні являють собою систему паралельних один одному площин, а в сферичної - систему концентричних сфер. Будь-яку хвилю, яка пішла на велику відстань від джерела, можна вважати сферичної, а на дуже велику - плоскою. При розгляді хвилі на відстанях, значно перевищують розміри джерела, джерело можна вважати точковим. Тому можна вважати, що сферичні хвилі породжуються коливаннями точкового джерела.
Поширення коливань з однієї точки простору в іншу відбувається не миттєво, а завжди відбувається з кінцевою швидкістю, яка залежить від властивостей середовища, в якій хвиля поширюється. Ця швидкість називається швидкістю поширення хвилі.
Розглянемо коливання деякої величини поширюються уздовж одного певного напрямку, який ми приймемо за вісь X. Завбільшки може бути зміщення з положення своєї рівноваги частинки пружного середовища, тиск в будь-якому місці пружною середовища і т.д. Оскільки хвильовий процес розвивається і в просторі, і в часі, то на відміну від коливального процесу, який описується функцією часу, хвильової процес повинен описуватися функцією координат і часу. В даному випадку величина буде функцією від координати x і часу t. Нехай в точці величина змінюється з часом (коливається) по деякому закону Тоді в інших точках величина буде пробігати ті ж значення, що і в точці. але з деяким запізненням, яке визначається швидкістю v поширення хвилі і координатою x. Це означає, що коливання величини в точці x відбуватимуться за тим же законом, що і в точці але ці коливання будуть відставати від коливань в точці на час рівне часу проходження хвилею відстані x. Тому значення величини в точці x в момент часу. тобто буде таким же, як значення в точці в більш ранній момент часу
Як бачимо, величина залежить не від координати x і часу порізно, а від їх комбінації. Переконаємося, що функції такого виду дійсно описують поширюється в просторі процес. Якщо за час процес, який характеризується функцією переміщається на відстань то значення функції в точці в момент часу має дорівнювати її значенням в точці x в момент часу t. дійсно,
Зафіксуємо якесь значення аргументу функції (7.1) в момент часу тобто покладемо Тоді Це є рівняння площині, перпендикулярній осі X. Тому функція (9.1) описує плоску хвилю, і називається формулою плоскої хвилі або просто плоскою хвилею Вона описує хвилю, що поширюється в позитивному напрямку осі X. Хвилю, що поширюється в негативному напрямку осі X. можна отримати, якщо у формулі (9.1) замінити v на -v:
Безпосередньою підстановкою легко переконатися, що функції (9.1) і (9.2) задовольняють рівняння
Рівняння (9.3) і (9.4) називаються хвильовими рівняннями. Вони являють собою лінійні диференціальні рівняння другого порядку в приватних похідних. Цим рівнянням задовольняють всі плоскі хвилі. Рівняння (9.2) буде задовольняти не тільки функції але і їх сума
Переконаємося в цьому. Уявімо це рівняння у вигляді
Введемо нові змінні
Похідні по нових змінних виражаються за стандартними правилами диференціювання складної функції:
У нових змінних, рівняння (9.10) буде мати вигляд
Оскільки похідна по # 956; дорівнює нулю, то не залежить від цієї змінної і, отже, є тільки деякою функцією s змінної:
Проинтегрируем це рівняння:
Перший доданок в правій частині є тільки функцією змінної яку ми позначимо як Другий доданок - постійна інтегрування. Вона не залежить від будучи, отже, функцією тільки змінної # 956; .
Ми отримали, що рішення хвильового рівняння (9.7) має вигляд:
Повертаючись до колишніх змінним x і t. матимемо
що збігається з виразом (9.5). Функція виду (9.5), таким чином, є загальним рішенням хвильового рівняння (9.4). Інших рішень це рівняння не має.
Справедливо і зворотне твердження: якщо будь-яка фізична величина залежить від координат і часу так, що її приватні похідні другого порядку по цим змінним задовольняють рівняння (9.2), то ця величина поширюється в просторі у вигляді плоских хвиль зі швидкістю v.