Примітка. В даному уроці викладені завдання з геометрії про площу поверхні циліндра. Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії, якої тут немає - пишіть про це в форумі. Майже напевно курс буде доповнений.
Який з циліндрів з об'ємом 128π см 3 має найменшу повну поверхню.
Рішення.
Формула знаходження об'єму циліндра
V = πr 2 h
Оскільки обсяг циліндра нам відомий, то
πr 2 h = 128π
звідки
r 2 h = 128
h = 128 / r 2
Площа повної поверхні циліндра дорівнює площі його підстав і площі бічної поверхні. Таким чином, формула площі поверхні циліндра буде виглядати наступним чином:
S = 2πr 2 + 2πrh
де
πr 2 - площа основи циліндра (площа кола)
2πr - довжина кола основи
Підставами значення висоти циліндра в отриману формулу
S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2πr 2 + 2πr * 128 / r 2
S = 2πr 2 + 256π / r
Якщо уявити отриману формулу як функцію площі заданого в завданні циліндра, то мінімальна площа циліндра буде досягнута в точці екстремуму даної функції. Для знаходження екстремуму диференціюючи отриману функцію.
f (r) = 2πr 2 + 256π / r
Формули диференціювання можна подивитися в таблиці похідних. отримаємо:
f '(r) = 4πr - 256π / r 2
Оскільки в точці екстремуму похідна функції дорівнює нулю, прирівняємо f '(r) до нуля і вирішимо рівняння.
4πr - 256π / r 2 = 0
отримаємо
4πr (1 - 64 / r) = 0
звідки
4πr = 0 або 1 - 64 / r = 0
перший знайдений корінь рівняння r = 0 відкидаємо,
1 - 64 / r = 0
r = 64
Звідки
h = 128 / r 2
h = 128/4096
h = 0.03125 або 1/32
Відповідь. мінімальна площа циліндра буде досягнута при h = 1/32 см, r = 64 см
Площа основи циліндра дорівнює Q. а площа осьового перерізу М. Чому дорівнює повна поверхня циліндра?
Площа основи циліндра дорівнює Q. а площа осьового перерізу М. Чому дорівнює повна поверхня циліндра?
Знайдемо площу осьового перерізу циліндра.
S = 2HR
За умовою завдання
2HR = M
звідки
2R = M / H
Площа кожного підстави циліндра
S = πR 2
За умовою завдання
πR 2 = Q
Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ підстав і площі бічної поверхні.
Площа бічної поверхні циліндра дорівнює
Sб = 2πRH
Таким чином, площа повної поверхні циліндра
Sп = 2Q + 2πRH
Врахуємо, що значення 2R = M / H, отримаємо
Sп = 2Q + (M / H) πH
звідки
Sп = 2Q + πМ
Знайдемо площу осьового перетин циліндра.
S = 2HR
За умові завдання
2HR = M
звідки
2R = M / H
Площа кожної основи циліндра
S = πR 2
За умові завдання
πR 2 = Q
Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ підстав і площі бічної поверхні.
Площа бічної поверхні цілiндра рівна
Sб = 2πRH
Таким чином, площа повної поверхні циліндра
Sп = 2Q + 2πRH
Врахуємо, что значення 2R = M / H, отрімаємо
Sп = 2Q + (M / H) πH з
відкі
Sп = 2Q + πМ