Можна довести, що початкові і центральні емпіричні моменти є заможними оцінками відповідно початкових і центральних теоретичних моментів того ж порядку. На цьому заснований метод моментів, запропонований К. Пірсоном. Гідність методу - порівняльна його простота. Метод моментів точкової оцінки невідомих параметрів заданого розподілу полягає в прирівнювання теоретичних моментів розглянутого розподілу відповідним емпіричним моментам того ж порядку.
А. Оцінка одного параметра. Нехай заданий вид щільності розподілу f (x, # 952;), яка визначається одним невідомим параметром # 952 ;. Потрібно знайти точкову оцінку параметра # 952; .
Для оцінки одного параметра досить мати одне рівняння щодо цього параметра. Дотримуючись методу моментів, прирівняємо, наприклад, початковий теоретичний момент першого порядку початковому емпіричному моменту першого порядку: # 957; 1 = М1. Враховуючи що # 957; 1 = М (X) (див. Гл. VIII, § 10), М1 = (див. Гл. XVII, § 2), отримаємо
Математичне сподівання М (X), як видно зі співвідношення
є функція від # 952 ;. тому (*) можна розглядати як рівняння з одним невідомим # 952 ;. Вирішивши це рівняння щодо параметра # 952 ;. тим самим знайдемо його точкову оцінку # 952; *, Яка є функцією від вибіркової середньої, отже, і від варіант вибірки:
Приклад 1. Знайти методом моментів за вибіркою х1, х2. хп точкову оцінку невідомого параметра # 955 ;, показового розподілу, щільність розподілу якого (x ≥0).
Рішення. Прирівняємо початковий теоретичний момент першого порядку початковому емпіричному моменту першого порядку: # 957; 1 = М1. З огляду на. М1 =, отримаємо
Взявши до уваги, що математичне очікування показового розподілу дорівнює 1 / # 955; (Див. Гл. XIII, § 3), маємо
Отже, шукана точкова оцінка параметра # 955; показового розподілу дорівнює величині, зворотній вибіркової середньої:
Б. Оцінка двох параметрів. Нехай заданий вид щільності розподілу f (х; # 952; 1. # 952; 2), яка визначається невідомими параметрами # 952; 1 і # 952; 2. Для відшукання двох параметрів необхідні два рівняння щодо цих параметрів. Дотримуючись методу моментів, прирівняємо, наприклад, початковий теоретичний момент першого порядку початковому емпіричному моменту першого порядку і центральний теоретичний момент другого порядку центральному емпіричному моменту другого порядку:
Математичне сподівання і дисперсія є функції від # 952; 1 і # 952; 2. тому (**) можна розглядати як систему двох рівнянь з двома невідомими # 952; 1 і # 952; 2. Вирішивши цю систему щодо невідомих параметрів, тим самим отримаємо їх точкові оцінки # 952; 1 * і # 952; 2 *. Ці оцінки є функціями від варіант вибірки:
Приклад 2. Знайти методом моментів за вибіркою х1, х2. хп точкові оцінки невідомих параметрів а і # 963; нормального розподілу
Рішення. Прирівняємо початкові теоретичні та емпіричні моменти першого порядку, а також центральні та емпіричні моменти другого порядку:
Взявши до уваги, що математичне очікування нормального розподілу одно параметру а, дисперсія дорівнює # 963; 2 (див. Гл. XII, § 2), маємо:
Отже, шукані точкові оцінки параметрів нормального розподілу:
Зауваження 1. Для оцінок, невідомих параметрів можна прирівнювати не тільки самі моменти, але і функції від моментів. Зокрема, цим шляхом отримують заможні оцінки характеристик розподілів, які є функціями теоретичних моментів. Наприклад, асиметрія теоретичного розподілу (див. Гл. XII, § 9)
є функція від центральних моментів другого і третього порядків. Замінивши ці теоретичні моменти відповідними емпіричними моментами, отримаємо точкову оцінку асиметрії
Зауваження 2. З огляду на, що. останню формулу можна записати у вигляді
Далі ця оцінка буде прийнята в якості визначення асиметрії емпіричного розподілу (див. Гл. XVII, § 9).