1) Приватні види матриць.
Матриця - це таблиця, що складається з певної кількості рядків і стовпців, заповнена елементами.
Види: 1) прямокутна 2) рядок 3) стовпець 4) квадратна 5) треугольная 6) діагональна і скалярная 7) еденічние 8) симетрична і косеметрічная
Множення матриць - одна з основних операцій над матрицями. Матриця, що отримується в результаті операції множення, називається твором матриць
Твором матриці розмірів на матрицю розмірів називається матриця розмірів, елементи якої обчислюються за формулою
,--дистрибутивность множення; ,, где-- одинична матриця відповідного порядку. Передбачається, що всі зазначені твори мають сенс.
Протягом всього докази передбачається, що - матриця розмірів.
Доведемо властивість асоціативності. Щоб твір був визначено, матріцадолжна мати розміри. Проізведеніеобозначім буквою. Тоді матріцаімеет розміри. Щоб проізведеніебило визначено, матріцадолжна мати розміри. Матріцуобозначім, матріцуобозначім, матріцуобозначім. Покажемо, що елементи, які стоять в другому рядку і-му стовпці матриці, дорівнюють один одному, тобто що.
Підставивши з другого рівності в перший, отримаємо
В силу пропозиції 14.1
В силу пропозиції 14.3 (14.6)
З іншого боку
Застосуємо пропозицію 14.1
Порівнюючи цей результат з (14.6), робимо висновок, що.
Асоціативність множення доведена.
Щоб твір був визначено, матріциідолжни мати розміри. Покладемо ,,,,. Для доказу рівності, потрібно довести, що ,,.
За визначенням суми матриць,. отже,
З іншого боку,
Порівнюючи отриманий результат з (14.7), отримуємо. Перше рівність у властивості дистрибутивности доведено ...
Твір матриці на одиничну матрицю відповідного порядку дорівнює самій матриці:
Твір матриці на нульову матрицю підходящої розмірності одно нульовий матриці:
Якщо и- квадратні матриці одного і того ж порядку, то твір матриць має ще ряд властивостей.
Множення матриць в цілому некомутативними:
Якщо, то матріциіназиваются перестановки або коммутирующими між собою.
Визначник і слід твори не залежать від порядку множення матриць:
2) Визначники. Правила обчислення
Визначником (або детермінантом) матриці A називається число, яке ставиться у відповідність цій матриці і може бути обчислено за її елементів.
Визначення 1. Определителем квадратної матриці другого порядку називається чісло.Определітелемквадратной матриці порядку ,, називається число
де - визначник матриці порядку, отриманої з матріцивичерківаніем першого рядка і стовпця з номером.
3) Властивості визначників
ВЛАСТИВІСТЬ 1. Величина визначника не зміниться, якщо всі його рядки замінити стовпчиками, причому кожен рядок замінити стовпцем з тим же номером.
ВЛАСТИВІСТЬ 2. Перестановка двох стовпців або двох рядків визначника рівносильна множенню його на -1.
ВЛАСТИВІСТЬ 3. Якщо визначник має два однакових шпальти чи два однакові рядки, то він дорівнює нулю.
ВЛАСТИВІСТЬ 4. Множення всіх елементів одного стовпця або одного рядка визначника на будь-яке число k рівносильно множенню визначника на це число k.
ВЛАСТИВІСТЬ 5. Якщо всі елементи деякого стовпця або деякої рядка дорівнюють нулю, то сам визначник дорівнює нулю. Це властивість є приватний разі попереднього (при k = 0).
ВЛАСТИВІСТЬ 6. Якщо відповідні елементи двох стовпців або двох рядків визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.
ВЛАСТИВІСТЬ 7. Якщо кожен елемент n-го стовпця або n-го рядка визначника є сумою двох доданків, то визначник може бути представлений у вигляді суми двох визначників, з яких один в n-м стовпці або відповідно в n-му рядку має перші зі згаданих доданків, а інший - другі; елементи, що стоять на інших місцях, у віх трьох визначників одні й ті ж.
ВЛАСТИВІСТЬ 8. Якщо до елементів деякого стовпця (або деякої рядка) додати відповідні елементи іншого шпальти (або іншого рядка), помножені на будь-який загальний множник, то величина визначника при цьому не зміниться.