Двійковий запис чисел
У двійковій системі числення числа записуються за допомогою двох символів (0 і 1). Щоб не плутати, в якій системі числення записано число, його постачають покажчиком справа внизу. Наприклад, число в десятковій системі 510. в двійковій 1012. Іноді двійковечисло позначають префіксом 0b або символом (Амперсанд) [1]. наприклад 0b101 або відповідно 101.
У двійковій системі числення (як і в інших системах числення, крім десяткового) знаки читаються по одному. Наприклад, число 1012 вимовляється «один нуль один».
Натуральні числа
Натуральне число, що записується в двійковій системі числення як (a n - 1 a n - 2 ... a 1 a 0) 2 a_ \ dots a_a _) _>. має значення:
Негативні числа
Негативні двійкові числа позначаються так само як і десяткові: знаком «-» перед числом. А саме, негативне ціле число, що записується в двійковій системі числення (- a n - 1 a n - 2 ... a 1 a 0) 2 a_ \ dots a_a _) _>. має величину:
В обчислювальній техніці широко використовується запис негативних двійкових чисел в додатковому коді.
Дробові числа
Дробове число, що записується в двійковій системі числення як (an - 1 an - 2 ... a 1 a 0. a - 1 a - 2 ... a - (m - 1) a - m) 2 a_ \ dots a_a_, a_a_ \ dots a_a_ ) _>. має величину:
Рухайтеся справа наліво. Під кожною двійковій одиницею напишіть її еквівалент в рядку нижче. Складіть отримані десяткові числа. Таким чином, двійкове число 1100012 рівнозначно десятковому 4910.
Перетворення дрібних двійкових чисел в десяткові
Потрібно перевести число +1011010,1012 в десяткову систему. Запишемо це число в такий спосіб:
Те ж саме трохи інакше:
Перетворення методом Горнера
Для того, щоб перетворювати числа з двійкової в десяткову систему даним методом, треба підсумувати цифри зліва направо, множачи раніше отриманий результат на основу системи (в даному випадку 2). Методом Горнера зазвичай переводять з двійковій в десяткову систему. Зворотна операція скрутна, тому що вимагає навичок додавання і множення в двійковій системі числення.
Наприклад, двійкове число 10110112 перекладається в десяткову систему так:
Тобто в десятковій системі це число буде записано як 91.
Переклад дробової частини чисел методом Горнера
Знаки взято з числа справа наліво і діляться на основу системи числення (2).
Перетворення десяткових чисел в двійкові
Припустимо, нам потрібно перевести число 19 в двійкове. Ви можете скористатися такою процедурою:
19/2 = 9 із залишком 1
9/2 = 4 c залишком 1
4/2 = 2 без залишку 0
2/2 = 1 без залишку 0
1/2 = 0 із залишком 1
Отже, ми ділимо кожне приватне на 2 і записуємо залишок в кінець двійковій запису. Продовжуємо розподіл до тих пір, поки в приватне не буде 0. Результат записуємо справа наліво. Тобто нижня цифра (1) буде найлівішій і т.д. В результаті отримуємо число 19 в двійковій запису: 10011.
Перетворення дрібних десяткових чисел в двійкові
Якщо у вихідному числі є ціла частина, то вона перетвориться окремо від дробу. Переклад дробового числа з десяткової системи числення в двійкову здійснюється за наступним алгоритмом:
- Дріб множиться на основу двійкової системи числення (2);
- В отриманому творі виділяється ціла частина, яка приймається в якості старшого розряду числа в двійковій системі числення;
- Алгоритм завершується, якщо дрібна частина отриманого твори дорівнює нулю або якщо досягнута необхідна точність обчислень. В іншому випадку обчислення тривають над дробової частиною твору.
Приклад: Потрібно перевести дробове десяткове число 206,116 в дробове двійкове число.
Переклад цілої частини дає 20610 = 110011102 по раніше описаним алгоритмам. Дробову частину 0,116 множимо на підставу 2, заносячи цілі частини твору в розряди після коми шуканого дробового двійкового числа:
Таким чином 0,11610 ≈ +0,00011101102
Отримаємо: 206,11610 ≈ +11001110,00011101102
У цифрових пристроях
Двійкова система використовується в цифрових пристроях. оскільки є найбільш простий і відповідає вимогам:
- Чим менше значень існує в системі, тим простіше виготовити окремі елементи, які оперують цими значеннями. Зокрема, дві цифри двійкової системи числення можуть бути легко представлені багатьма фізичними явищами: є струм (струм більше порогової величини) - немає струму (струм менше порогової величини), індукція магнітного поля більше порогової величини чи ні (індукція магнітного поля менше порогової величини) і т.д.
- Чим менше кількість станів у елемента, тим вище стійкість перед перешкодами і тим швидше він може працювати. Наприклад, щоб закодувати три стану через величину напруги, струму або індукції магнітного поля, потрібно ввести два граничних значення і два компаратора. що не сприятиме завадостійкості і надійності зберігання інформації. [Джерело не вказано 2372 дня]
- Двійкова арифметика є досить простий. Простими є таблиці додавання і множення - основних дій над числами.
У цифровій електроніці одному двійковому розряду в двійковій системі числення відповідає (очевидно) один двійковий розряд двійкового регістра. тобто двійковий тригер з двома станами (0,1).
В обчислювальній техніці широко використовується запис негативних двійкових чисел в додатковому коді. Наприклад, число -510 може бути записано як -1012 але в 32-бітному комп'ютері буде зберігатися як 111111111111111111111111111110112.
В англійській системі заходів
При вказівці лінійних розмірів в дюймах за традицією використовують двійкові дроби, а не десяткові, наприклад: 5¾ ", 7 15/16", 3 11/32 "і т. Д.
Двійкова система числення є комбінацією двійковій системи кодування і показовою вагової функції з повним правом рівним 2. Слід зазначити, що число може бути записано в двійковому коді. а система числення при цьому може бути не двійковій, а з іншою підставою. Приклад: двійковій-десяткове кодування. в якому десяткові цифри записуються в двійковому вигляді, а система числення - десяткова.