БІЛИЙ гауссовский ШУМ
При розгляді гауссовского процесу часто буває зручно представити його у вигляді суми його функції середніх і деякого шумового процесу з нульовим середнім значенням. Таким чином,
де гауссовский процес з нульовим середнім значенням:
У найбільш цікавих прикладних задачах, наприклад в разі дробового шуму [рівність], функція середніх являє собою відомий (не випадкова) сигнал, а гауссовский шумовий процес, стаціонарний у вузькому сенсі. При цьому оскільки то ковариационная функція дорівнює кореляційної функції [см. формулу]:
Таким чином, перетворення Фур'є функції т. Е. Спектральна щільність потужності повністю задає процес з нульовим середнім.
У багатьох додатках теорії зв'язку доводиться стикатися з джерелами фізичного шуму, в яких спектральна щільність потужності гауссовского шуму, накладивакпцегося на корисний сигнал, залишається майже незмінною аж до частот, багато вищих, ніж частоти, які є основними в самому сигналі. У таких випадках з рівності (3.115) і (3.116) випливає, що середнє квадратичне значення шумових перешкод може бути зменшено (без небажаного впливу на корисний сигнал) шляхом пропускання суми сигналу і шуму через фільтр сигнал виходить з фільтра без будь-яких істотних змін, а шум в значній мірі пригнічується (фіг. 3.27). Оскільки ми цікавимося тільки спектральної щільністю потужності шуму на виході фільтра, то представляється малоістотним, який спектр шуму на вході в області, де він наближається до нуля поза смуги пропускання фільтра. Відповідно до цього часто припускають, що спектр вхідного шуму є постійним на всіх частотах і вводять поняття білого гауссовского шуму який визначається як стаціонарний гауссовский процес з нульовим середнім
Фіг. 3.27. Широкосмуговий гауссовский шум на Гвходс вузькосмугового фільтра. На виході фільтра з'являється в точності такий же процес, як якщо б на вхід надходив білий шум.
і зі спектральною щільністю потужності
Насправді білий шум може бути тільки фіктивним, оскільки його загальна середня потужність повинна дорівнювати
що безглуздо. Корисність поняття білого шуму випливає з того факту, що такий шум, будучи пропущеним через лінійний фільтр, для якого
перетворюється на виході фільтра в стаціонарний гауссовский процес з нульовим середнім значенням, що вже аж ніяк не безглуздо. З рівності (3.114) і (3.132) отримуємо
звідки випливає, що
Ця величина кінцева за припущенням (3.1336). Відповідно до равенствами (3.120) і (3.134а) кореляційна функція процесу на виході
Інший висновок рівності (3.125) виходить безпосередньо на основі виразу для кореляційної функції білого шуму. Зауважимо, що
Таким чином, відповідно до рівністю (3.111) процес задається до орреляціонной функцією
яка теж, хоча і не має фізичного сенсу, корисна при обчисленнях. З рівності (3.1366) слід, що будь-які два вибіркових значення білого гауссовского шуму є статистично незалежними, як би близько один до одного ні вибиралися моменти їх спостереження. У певному сенсі білий гауссовский шум описує граничну «випадковість». Підставляючи вираз (3.1366) в співвідношення (3.110а) при отримуємо
Фіг. 3.28. Проходження білого шуму через ідеальний фільтр нижніх частот.
Представляючи як зворотне перетворення Фур'є функції і змінюючи порядок інтегрування, приходимо знову до рівності (3.135). Інтеграл в правій частині рівності (3.137) часто називають «кореляційної функцією» (детермінованою) функції
Як приклад застосування цих результатів розглянемо ідеальний фільтр нижніх частот, зображений на фіг. 3.28, передавальна функція якого задається як
Якщо на вхід цього фільтра надходить білий гауссовский шум то функція середніх процесу на виході визначається рівністю
Але за визначенням
Відповідно до равенствами (3.131в) і (3.135) кореляційний і ковариационная функції процесу на виході задаються наступним чином:
Розглянемо тепер сукупність до вибіркових значень процесу на виході відповідних моментам спостереження де
F - будь постійне число. Цікаво відзначити, що величини утворюють сукупність статистично незалежних випадкових величин з нульовими
середніми значеннями і з дисперсіями
Таким чином, щільність спільного розподілу ймовірностей до гауссовских випадкових величин