С = (порівняйте з А + В), D = (порівняйте з АВ).
Зауважимо, що перетворення C = + - вироджений.
Розглянемо невироджене перетворення.
Перетворення -1. переводить кожен вектор х у вектор х. називається зворотним кпреобразованію лінійного простору L.
Можна показати, що справедливо рівність
Якщо невироджене перетворення в деякому базисі задається невироджених матрицею А, то зворотне перетворення -1 задається в цьому базисі матрицею А -1.
Перетворення, що володіє зворотним, називається оборотним перетворенням.
Якщо оборотне перетворення - лінійне, то зворотне перетворення -1 також лінійне, тому що згідно з визначенням 9,
-1 (+) = -1 () = = -1 () + 1 (),
-1 (l) = -1 () = = l -1 ().
Очевидно, тотожний оператор є зворотним самому собі.
З отриманих результатів випливає, що операції над лінійними перетвореннями володіють тими ж властивостями, що і операції над матрицями, наприклад, складання коммутативно і асоціативно:
множення асоціативно, але не коммутативно:
Тотожне перетворення грає серед перетворень роль одиниці, а нульове - роль нуля.
Власні вектори і власні значення лінійного перетворення
Нехай дана квадратна матриця порядку п
Складемо для неї матрицю
де l - довільне число, а Е - одинична матриця. Матриця (А - l Е) називається характеристичною матрицею матриці А, а рівняння
| А-l Е | = 0 або = 0
називається характеристичним рівнянням матриці А.
Очевидно, визначник | A - l Е | є многочленом ступеня п щодо l. Цей многочлен також називають характеристичним многочленом матриці А, коріння цього многочлена називаються характеристичними корінням (числами) матриці А.
Можна довести, що подібні матриці мають однакові характеристичні многочленами, а, значить, і однакові характеристичні корені.
Як ми знаємо, між квадратними матрицями і лінійними перетвореннями існує взаємно однозначна відповідність, причому матриці, що задають лінійне перетворення в різних базисах, подібні. Значить, хоча лінійне перетворення в різних базисах задається різними матрицями, однак всі ці матриці мають один і той же набір характеристичних коренів. Тому характеристичні корені матриці перетворення називають характеристичними корінням самого перетворення. Розглянемо одне із застосувань характеристичних коренів перетворення.
ПустьL n - лінійний простір,: L n ® L n - лінійне перетворення цього простору. Ненульовий вектор і називається власним вектором лінійного перетворення. якщо він цим перетворенням перекладається в вектор lі. тобто
де l - деяке дійсне число. При цьому l називається власним числом або власним значенням лінійного перетворення. відповідним власному вектору і.
Оскільки між лінійними перетвореннями і матрицями в заданому базисі існує взаємно однозначна відповідність, то введені поняття можуть бути віднесені і до матриць. Таким чином, якщо А - квадратна матриця (матриця лінійного перетворення в деякому базисі), Х - матриця-стовпець координат вектора і ¹ 0 (в цьому ж базисі), то цей вектор називається власним вектором матриці А, а число l - власним числом цієї матриці, якщо АХ = LХ.
Нехай і - власний вектор лінійного перетворення. заданого в деякому базисі Б матрицею А, l - відповідне цьому вектору власне значення, тобто і = lі. і ¹ 0. Позначимо Х = - координатний стовпець вектора і в базисі Б, тоді в матричному вигляді рівність і = lі запишеться так
АХ = LХ Þ АХ - LХ = О, (А - l Е) Х = О.
Якщо А =. то А - l Е =,
і рівність (А - l Е) Х = О рівносильно системі лінійних рівнянь
Оскільки Х - ненульова матриця-стовпець, то ця система має нетривіальне рішення, що можливо лише в тому випадку, коли визначник основної матриці цієї системи дорівнює нулю, тобто коли виконується умова.
Отже, власні значення l перетворення (або матриці А) є корені рівняння. тобто дійсні характеристичні корені цього перетворення (матриці).
Навпаки, нехай l0 - характеристичний корінь перетворення. тобто l0 є коренем характеристичного многочлена. Тоді при l = l0 визначник системи (*) дорівнює нулю, отже, система має нетривіальне рішення. Оскільки система (*) рівносильна матричному рівнянню. або. то рішення системи є стовпець Х =. який можна розглядати як координатний стовпець вектора і. задовольняє рівності і = l0і. тобто власного вектора перетворення. відповідного власного значення l0.
Таким чином ми довели, що дійсні характеристичні корені лінійного перетворення, якщо вони існують, і тільки вони є власними значеннями цього перетворення.
Власне значення називаетсо -кратноє. якщо воно є т -кратноє коренем характеристичного рівняння. Якщо власне значення - простий корінь характеристичного рівняння, то його називають простим власним значенням.
З вищесказаного випливає алгоритм нахожденіясобственних значень і власних векторів перетворення:
1. Вибирають в заданому лінійному просторі довільний базис.
2. Знаходять матрицю А перетворення в цьому базисі.
3. Знаходять характеристичні числа перетворення. вирішивши рівняння
і вибирають з них дійсні, які і є власними значеннями. Якщо немає дійсних характеристичних коренів, то немає ні власних значень, ні власних векторів.
4. Складають систему (7.1)
і, вважаючи l рівним одному зі знайдених власних значень li. знаходять нульове рішення Хi = цієї системи. Отриманий вектор Иi = Хi = і є власний вектор, що відповідає взятому своїм значенням li.
5. Пункт 4 цього алгоритму повторюють для кожного власного значення.
Зверніть увагу, що оскільки для кожного власного значення li система (7. 1) має безліч рішень, то для даного перетворення існує нескінченне число власних векторів, відповідних власному числу li.
Знайти власні вектори перетворення. заданого матрицею А =.
Пункти 1 і 2 зазначеного алгоритму вже виконані. Розглянемо відразу третій пункт. Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:
Це дійсні числа, значить, вони є власними значеннями.
Складемо систему виду (7.1): Знайдемо рішення цієї системи для кожного з отриманих власних значень.
При отримаємо Ранг цієї системи, очевидно, дорівнює 1, значить, система рівносильна одного рівняння. вирішуючи яке, знаходимо х1 = 3х2. Покладемо х2 = t. отримаємо x1 = 3t. тоді власний вектор и1 = (3t. t) відповідає власному значенню.
При отримаємо систему ранг якої також дорівнює 1, тому вона рівносильна рівняння х1 + х2 = 0, звідки х1 = - х2 При. отримаємо. звідки маємо власний вектор і 2 = (-s. s), що відповідає власному значенню l1 = - 2.
Таким чином, маємо сімейство власних векторів и1 = (3t. T), відповідних власному числу l1 = 2 і сімейство власних векторів і 2 = (- s. S). відповідних власному числу l1 = - 2.